文章作者、来源：机器之心

我们正在进入科学的黄金时代？

本周四，OpenAI 宣布用 AI 大模型推翻了离散几何学中的一个核心猜想：如果你在平面上放置 n 个点，有多少对点之间的距离恰好为 1？

「Erdős 单位距离问题」（Erdős Unit Distance Problem）是组合几何中最著名的经典难题之一，由数学家保罗・埃尔德什（Paul Erdős）于 1946 年提出。

近 80 年来，数学家们认为最佳解决方案大致类似于方形网格（这也很符合我们的直觉），OpenAI 的大模型现在推翻了这一信念，发现了一个全新的构造族，其性能更优。这是人工智能首次自主解决了一个数学领域的核心著名未解问题。

菲尔兹奖得主蒂莫西・高尔斯（Tim Gowers）称，这一结果是「AI 数学的一个里程碑…… 如果这是人写的论文，他会毫不犹豫建议顶刊接收。」

著名数论学家 Arul Shankar 也直言：「在我看来，这表明，当前 AI 模型已经不只是人类数学家的助手 —— 它们能够提出原创而巧妙的想法，并将这些想法完整地推进到最终成果。」

这一次，我们甚至可以断言，AI 已经在数学领域，以及理论物理领域达到了超越人类能力的门槛。

OpenAI 科学家，AI 德扑提出者 Noam Brown 表示，实现这一成就的是一个通用型大语言模型，它并不是针对这个问题，甚至都不是针对数学问题设计的。而且，它也不是一个协助工具。OpenAI 并没有将这个模型在开放性问题上推到极限，现在的重点是想要尽快推出它，以便让每个人都能使用。

这不是像谷歌此前 AlphaProof 那样专门为数学设计的模型，有可能就是 GPT-5.5 Pro 的下一版本。如果过一两个月，我们随便拿起手机就能与它对话，世界会是什么样？

每个人都有一个天才梦，现在 AI 能帮我们实现了。

一个困扰数学界 80 年的「Erdős 单位距离问题」

要理解这次 AI 取得突破的震撼性，需要回到这道题本身。

1946 年，传奇数学家保罗・埃尔德什（Paul Erdős）提出了一个陈述极其简单、却极为折磨人的几何猜想：如果在平面上任意放置 n 个点，其中最多能有多少对点的距离恰好等于 1（记为 g(n)）？

如果将 n 个点排成一条直线可以得到 n-1 个单位距离对；

如果排成正方形网格，则可以得到大约 n log n 个对；

此前已知人类的极限，即最好的构建方法来自缩放后的正方形网格（利用高斯整数的性质），可以将这一数量提升至 O(n^{1+c/√{log n}})（ C 为常数）。

由于 n 随着增加趋于无穷大，因此指数中的附加项会趋于 0，这意味着，这些构建方法实现的增长速度仅比线性稍快一点。

几十年来，整个数学界都笼罩在埃尔德什本人的直觉阴影下，他断言：正方形网格结构就是最优解，并在技术上提出了上限为 O(n^{√{2}})的猜想，其中的附加项表示一个随着 n 的增加而趋于 0 的项。

此前已知的通过缩放正方形网格构建众多单位距离的方法。

为了激励后来者，他甚至为这个难题设立了个人现金奖励。

可是，自从 1984 年数学家 Spencer、Szemerédi 和 Trotter 确立了 n^{2} 的上限以来，该问题的上下限区间已经沉寂了 40 多年。尽管后来有 Székely、Katz 和 Silier、Pach、Raz，以及 Solymosi 等几何大牛的后续改进，都未能撼动「正方形网格不可超越」的常识。

然而，OpenAI 的新模型用一记响亮的耳光证明：人类和埃尔德什，似乎都想错了。

AI 证明：对于无穷多个 n 值，可以构建出至少拥有 n^{1+o(1)} 个单位距离对的 n^{1+o(1)} 个点的配置，其中 o(1) 为一个固定的指数。

OpenAI 官方表示，最初的 AI 证明并未给出明确的 o(1) 值，但普林斯顿大学数学教授威尔・萨温（Will Sawin）随后做出的改进表明，可以取 = 0.014。

源自「代数数论」的新技术

从高层次看，AI 的这一证明是从一个熟悉的几何想法出发，将其推向了一个出人意料的方向。那么，AI 到底是如何做的？

传统上，人类数学家尝试提升单位距离对的方法，是通过高斯整数（Gaussian integers）（形如 a+bi 的数，其中 a 和 b 为整数，i 则是 -1 的平方根）在平面上构筑网格。高斯整数享有唯一质因数分解等完美性质，能映射出一定的几何对称性。

但通用推理模型敏锐地察觉到，高斯整数提供的对称性还不够「压榨」出极限的单位距离，继而「想到」了数学中一个非常不同的领域 —— 代数数论（algebraic number theory），这一领域研究代数数域中整数扩张的因式分解等概念。

AI 的核心原创思想，是用代数数论中更为庞大、复杂的「代数数域扩张」彻底替代了高斯整数，它构筑了一类拥有更高级、更丰富对称性的数域结构，从而在几何空间中创造出了远超以往的单位长度差。

为了证明这种理想中的复杂数域不仅存在、而且坍缩出来的点集确实满足条件，AI 甚至直接搬出了代数数论的底层重武器：无限类域塔（infinite class field towers）和 Golod-Shafarevich 理论。

尽管这些概念对于代数数论专家而言早已耳熟能详，但令人倍感惊奇的是，这些抽象的数学概念竟然对欧几里得平面上的几何问题具有实际的启示意义。

而就是这一成功证明，让困扰数学界 80 多年的难题，终于找到最终解了。

在验证了初步证明之后，OpenAI 考察了模型在该问题上、在不同测试时计算资源量下的成功率。结果展示如图。

这对数学意味着什么

这一成果标志着人工智能参与数学研究历程的一个重要时刻：一个 AI 系统自主解决了一个处于活跃研究领域核心、且悬而未决多年的难题。

它同时也让我们得以初窥人工智能与人类数学家之间一种新型协作模式的样貌。在此案例中，由外部数学家撰写的配套研究工作，为我们呈现了一幅远比 AI 原始解法本身更为丰富、深刻的图景。

正如曼彻斯特大学研究员 Thomas Bloom 所写：

「在评估一个由 AI 生成的证明其重要性与影响力时，我常自问这样一个问题：它是否教会了我们关于该问题的一些新知？我们如今是否对离散几何有了更深入的理解？我认为答案是一个『有保留的肯定』：这一成果表明，在解答此类问题方面，数论构造所能提供的启示远比我们此前预想的要丰富得多；此外，解决这些问题所需的数论知识其深度可能非同寻常。毫无疑问，在接下来的几个月里，许多代数数论学家将会把目光投向离散几何领域中其他的未解难题。」

该解法所揭示的代数数论与离散几何之间那意想不到的关联，正是这一成果之所以引人瞩目的原因之一。它不仅仅是解决了一个具体的猜想，更可能为数学家们搭建起一座桥梁，引领他们去探索更多相关的延伸问题。

Bloom 同时也指出了更为广阔的可能性：

「知识的前沿往往呈现出一种崎岖不平、充满尖峰的形态。毫无疑问，在接下来的数月乃至数年间，我们将在数学领域的许多其他分支中见证类似的成功案例 —— 即由 AI 通过揭示意想不到的关联、并将现有的技术工具推向其极限，从而解决那些悬而未决多年的难题。AI 正助力我们去更全面地探索那座历经数个世纪才得以巍然耸立的『数学大教堂』；在这座宏伟殿堂的深处，又有哪些尚未被发现的奇观正静待着我们的发掘？」

打开想象力

「Erdős 单位距离问题」乍看之下像是一个娱乐问题，但它实际上与其他数学领域密切相关，包括数论和代数几何学。事实是，AI 在这里做到了许多优秀人类研究者尝试过却失败的事情。

OpenAI 此次突破的核心意义也不止于具体的研究成果。

这种数学推理能力能让 AI 成为强而有力的科研伙伴：它能够贯穿并维系复杂的思维逻辑，将相距甚远的知识领域的概念相互联结，发掘出专家此前可能未予重视的研究路径，并协助研究人员攻克那些若无 AI 辅助便因过于复杂或耗时而难以着手的难题。

这些能力的应用价值远不止数学领域。如果一个模型能够确保复杂论证的逻辑连贯性，融汇贯通不同知识领域的思想，并产出经得起专家严格审视的高质量成果 —— 那么，这些能力在生物学、物理学、材料科学、工程学及医学等领域同样具有实用价值。

它们构成了我们迈向「科研自动化」这一长远目标的关键一环。

未来，人类科研的方法或许是人类发挥判断力，AI 帮忙进行信息检索、提供思路建议以及验证研究结果。

不仅是 AI，大量科学方向的发展速度都会被加快。

参考链接：

https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/